Ngày 30 tháng 6 năm 1999, phó tế Giuse Bùi Công Trác được thụ phong linh mục tại Nhà thờ Đức Bà Sài Gòn do Tổng giám mục Gioan Baotixita Phạm Minh Mẫn chủ phong,[9] thuộc linh mục đoàn Tổng giáo phận Thành phố Hồ Chí Minh.[20] Sau khi thụ phong chức linh mục cho đến năm 2003, linh mục Trác đảm nhận cương vị linh mục phó giáo xứ Thủ Thiêm, hạt Thủ Thiêm. Từ năm 2003 đến năm 2004, ông thi hành mục vụ tại Đại chủng viện Thánh Giuse Sài Gòn.[9][20]

Từ năm 2004 đến năm 2010, linh mục Bùi Công Trác du học tại Đại học Giáo Hoàng Gregoriana tại Rôma (The Pontifical Gregorian University);[9] tốt nghiệp học vị Tiến sĩ Giáo huấn xã hội Công giáo vào năm 2010.[1][21] Từ năm 2010 đến năm 2016, ông đảm nhận cương vị Phó Giám đốc Giáo hoàng Học viện Quốc tế Truyền giáo thánh Phaolô Tông đồ (The Pontifical International Missionary College of St. Paul the Apostle), trực thuộc Bộ Truyền Giáo tại Rôma. Ngoài ra, ông còn kiêm nhiệm chức vụ Phó Chủ tịch Hội Liên Tu sĩ Rôma từ năm 2010 đến năm 2013 và Chủ tịch của hội này từ năm 2013 đến năm 2016.[9] Với tư cách này, linh mục Bùi Công Trác đã hỗ trợ lo liệu các công việc hỗ trợ cho việc nhận nhà thờ hiệu tòa của Hồng y Tân cử Phêrô Nguyễn Văn Nhơn, Tổng giám mục Tổng giáo phận Hà Nội vào năm 2015.[22][23]

Từ năm 2016 đến nay, linh mục Bùi Công Trác giữ chức vụ Giám đốc Đại chủng viện Thánh Giuse Sài Gòn,[1][24] kiêm Giáo sư môn Truyền giáo học và Học thuyết Xã hội.[25] Đại chủng viện này hiện nay là nơi đào tạo linh mục Công giáo cho ba giáo phận: Giáo phận Sài gòn, giáo phận Mỹ Tho và Phú Cường.[26] Ông tiếp tục giữ trách nhiệm này kể cả khi đã được tấn phong chức giám mục vào năm 2023.